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Los mitos del caos


Corre el tren. Atrás queda la ciudad soñada por De Chirico. Déjeme que le diga que el fino tren de cuerda parece avanzar entre hierbas, puentes, estaciones, desfiladeros y montañas de juguete. Si hemos de oír alguna música será la habitual musiquilla alegre de tren en marcha (Villalobos), pero debajo de ella un crecer musical ominoso e inquietante que deforma el sentido de la melodía del trencito... Ámbar, HUGO HIRIART


Prefacio

El matemático francés Pierre Simon de Laplace afirmaba categórico, en 1776, que si se conociera la velocidad y la posición de todas las partículas del Universo en un instante dado, entonces se podría predecir su pasado y futuro para el resto de los siglos. Existen, claro está, dificultades obvias para satisfacer la propuesta de Laplace, pero por más de cien años su afirmación pareció correcta y, más aún, la aplicación literal de esos conceptos al comportamiento humano condujo a la conclusión filosófica de que el libre albedrío no existía ya que todo estaba determinado. Sin embargo, a pesar de esas aventuradas conclusiones, la experiencia nos enseña que existen fenómenos naturales que son impredecibles y para ello baste el ejemplo del pronóstico del tiempo: si bien la atmósfera se mueve obedeciendo las mismas leyes de la física que rigen el movimiento planetario, considerado por muchos como el arquetipo de la predecibilidad, no podemos saber con certeza si debemos o no salir con el paraguas. ¿Por qué? Los meteorólogos responden que bajo ciertas circunstancias el flujo del aire se comporta en forma obediente y se le pueden aplicar ecuaciones que lo describen rigurosamente, pero, en otras situaciones su movimiento es caótico y no se sabe qué pasará. El desorden es precisamente el personaje principal de este relato y, a la pregunta del lector respecto a qué es lo que lo causa, nos adelantamos diciéndole que ¡NADA!; siempre ha existido y hoy en día sabemos que su presencia en muchos fenómenos es más común de lo que pensábamos hace algunos años. Los científicos que estudian los comportamientos caóticos en diversos campos concuerdan en que una nueva concepción de la ciencia se ha gestado, y esperamos poder convencer al lector de lo importante que resulta este descubrimiento. A manera de advertencia, debemos indicar que el tema sobrepasa nuestra capacidad de abarcarlo en todas las facetas que presenta en los diversos campos de la ciencia, y los que tratamos en este texto tampoco se estudian con la profundidad que merecen. Esperamos que la lectura de estas notas sirva para que el lector se interese más sobre ellos; los resultados de la búsqueda, podemos apostar, cambiarán la idea que tiene de la ciencia y ¿por qué no?, de su propia vida.

LA METAFÍSICA ocupa un lugar importante dentro del conocimiento humano, ya que el hombre al preguntarse acerca del origen del mundo, lo hace también del suyo propio. Es tan sencillo como decir que la metafísica empieza donde termina el lenguaje de la ciencia. A pesar de que los griegos tuvieron filosofía y los judíos sólo religión, es interesante hacer notar que el pensamiento metafísico fue más acentuado en los griegos. A diferencia de los mitos babilónicos y griegos, en los cuales el mundo tiene su origen en peleas entre los dioses paganos, en el Antiguo Testamento se hace un planteamiento racional, no antropomórfico e incluso casi científico del origen del mundo. Si nos referimos al texto del Antiguo Testamento vemos que la primera de las especificaciones teológicas es el enunciado del estado caótico original de la Tierra, el cual se plantea con la ayuda de una serie de conceptos corrientes en el pensamiento cosmológico sacerdotal. Tohuwabowu significa lo informe, la masa primigenia de aguas rodeada de tinieblas, designa al caos en su aspecto material como un elemento primordial líquido, pero suscita al mismo tiempo una asociación con el aspecto dimensional: tehom = océano caótico es el abismo cósmico (la palabra está relacionada lingüísticamente con Tiamat, el dragón babilónico del caos, cuya destrucción a manos de Marduk permite la creación del Universo). Edmundo Valadés (El libro de la imaginación) nos narra la siguiente versión de la creación proveniente de la teogonía náhuatl.

El mundo estaba lleno de agua. Y en el agua vivía la Señora de la Tierra. Era un monstruo cubierto de ojos y de fauces. Tezcatlipoca y Quetzalcóatl decidieron darle forma a la Tierra. Convertidos en serpientes, enlazaron y estrecharon al monstruo hasta que se rompió en sus dos mitades. Con la parte inferior hicieron la Tierra y con la parte superior el cielo. Los otros dioses bajaron a consolarla y, para compensar el daño que Tezcatlipoca y Quetzalcóatl acababan de hacerle, le otorgaron el don de que su carne proporcionara cuanto el hombre necesita para vivir en el mundo.

Tras todo lo creado subsiste el abismo de lo informe, que puede ser continuamente engullido por ese abismo; el caos constituye, en suma, una perpetua amenaza para las criaturas. Cuando hablamos de caos, la primera idea que nos viene a la mente es de carácter negativo, como una imperfección, algo que causa inquietud y, más aún, se ve como una forma del Mal. El tema, como dice Pierre Tuiller, filósofo e historiador de la ciencia, ha sido uno de los más discutidos, y en todas las mitologías, religiones y filosofas se ha tratado de resolver la pregunta clave: ¿cuál es el orden universal?


EL CAOS DETERMINISTA

En años recientes, parte de la comunidad científica en todo el mundo ha comenzado a hablar incesantemente de caos, desorden, aperiodicidad, para explicar muchos fenómenos que se suceden en la naturaleza y en experimentos controlados de laboratorio, que se caracterizan por tener un comportamiento que no puede ser descrito por leyes matemáticas sencillas. Más extraño aún es el hecho de que este tipo de caos emerge de fenómenos cuya evolución es inicialmente determinista. Contrariamente a lo que podría esperarse, al aumentar la cantidad de información disponible no se evita la imposibilidad de conocer la progresión futura del sistema. Dicha evolución queda determinada por su pasado y una de las propiedades peculiares del caos es que la mínima incertidumbre en la definición de las condiciones iniciales se amplifica exponencialmente, alcanzando proporciones macroscópicas que impiden conocer lo que sucederá a largo plazo.

El descubrimiento del caos determinista ha forzado un cambio sustancial en la filosofía de la ciencia: por una parte, establece límites a nuestra capacidad para predecir un comportamiento; por otra, abre un nuevo espacio para comprender muchos fenómenos aleatorios que suceden en varios campos del conocimiento. Sin embargo, la aceptación que estos fenómenos han tenido entre los científicos no ha sido general, El polvo de la casa a veces se suele esconder cómodamente debajo de la alfombra; pero tarde o temprano requerirá de nuestra atención. El polvo afea el orden, pues si existe un componente de aleatoriedad o de imperfección se destruyen las simetrías intrínsecas que simplifican la predicción física. Sin embargo, a pesar de que se niegue su existencia las evidencias son contundentes: el polvo se manifiesta en la física a escalas tan microscópicas como es la distribución de los niveles de energía en ciertos sistemas atómicos; en química se describen reacciones oscilatorias en las que, una vez desencadenadas, al cabo de cierto tiempo parece regresarse a los reactivos de partida. En los movimientos de los planetas de nuestro Sistema Solar también encontramos comportamientos desordenados, así como en los cambios climáticos, el ritmo cardiaco, la vida económica y las epidemias que atacan a la humanidad, por nombrar sólo algunos. Definir el concepto de desorden no es una tarea fácil ya que cada quien tiene una idea propia de él. En ciertos casos evoca un estado de confusión, una disposición de cosas más o menos irregular, pero independientemente de los giros semánticos la idea general es que el orden ha sido gravemente perturbado. El desorden se presenta entonces como algo que nunca debió haber existido y en el dominio de las ciencias se le acusa de delincuente que viola las "leyes de la naturaleza". Durante mucho tiempo, la ciencia ha hecho suyo el credo de que detrás de los desórdenes aparentes de la naturaleza siempre existe un orden escondido. Predecesores de esta filosofía son los pitagóricos y Platón. Para este último el estado ideal del Cosmos es cuando cada cosa está en su lugar. La racionalidad del Cosmos la interpreta como el resultado de una operación efectuada por un poder ordenador, una figura semimítica a la que llama Demiurgo, especie de "obrero" que ordena el desorden al crear el Cosmos, palabra que significa en primer lugar belleza, arreglo, orden y en segunda instancia, mundo, es decir, orden del mundo. Nos dice Platón:

“con todo aquello en desorden, el dios insertó proporciones en cada cosa respecto de sí y respecto de los demás, esas simetrías eran tan abundantes como fue posible y se encontraban en las cosas ajustadas según proporción y medida común [...] todas esas partes primero fueron ordenadas y luego se constituyó con ellas ese todo, viviente único que contiene en sí mismo a todos los vivientes mortales e inmortales”.

El mundo es matemáticamente ordenado y el trabajo del hombre de ciencia consiste en encontrar las estructuras racionales que sirvieron de modelo al Demiurgo. Según Platón, en el campo de los elementos microscópicos estas formas perfectas se identifican con los poliedros regulares, en particular con el círculo. Por ello los astrónomos, hasta Kepler, redujeron todas las trayectorias celestes a círculos o combinaciones de ellos. Sin embargo el mismo Platón, aunque obsesionado por el orden, le presta gran atención a los desórdenes y sugiere que el orden ideal no puede ser jamás instaurado de manera absoluta en los objetos materiales. Hay algo que se resiste, que impide a las estructuras matemáticas realizarse perfectamente: la Naturaleza emergida de las manos del Demiurgo es sede de una agitación permanente.

Podemos, por tanto, afirmar que la ciencia ha estado influida durante muchos siglos por los conceptos de Platón, quien delinea tres niveles principales de jerarquización. En el nivel superior se encuentran las ideas y formas matemáticas que constituyen los modelos ideales de todas las cosas. Es el dominio del ORDEN. Al otro extremo se encuentra el CAOS, estado primordial carente de orden y desorden, que escapa a toda descripción.

Entre esos dos niveles está nuestro mundo, resultado del trabajo del Demiurgo, que tiene un poco de orden y desorden. Aunque idealmente es ordenado y obedece a leyes deterministas, no está exento de carácter aleatorio. Uno de los postulados que ha regido la ciencia nos dice que existen regularidades en la sucesión temporal de los eventos que ocurren en el universo material y en algunas características mensurables de los sistemas materiales relativamente aislados, cuando están en equilibrio. Como afirma A. Rosenblueth, este principio es la esencia del determinismo o la causalidad, puesto que implica que es posible predecir el futuro de un sistema si se conocen en un momento dado las condiciones de los elementos que lo constituyen. Las ecuaciones que empleaba la física clásica para expresar sus leyes, tanto las que se referían a los equilibrios como las que expresaban los procesos dinámicos, tenían una forma que implicaba relaciones causales precisas y rigurosa entre sus variables; eran, por lo tanto, compatibles con las formulaciones filosóficas del principio de causalidad.

 

EL COLAPSO DE LA PREDICCIÓN

Una de las primeras sacudidas a la sólida estructura del determinismo la proporcionó la conocida teoría cinética de los gases, desarrollada por J. G. Maxwell y luego perfeccionada por L. Boltzman. En ella se trata de concebir y analizar los mecanismos ocultos presentes en un gas, y con ello explicar las propiedades manifiestas en el nivel macroscópico (volumen, temperatura, presión). Supusieron que las sustancias estaban compuestas de átomos, pero en lugar de razonar en forma individual, manejaron el problema en forma estadística y calcularon promedios basándose en el principio de que la energía del gas se distribuye uniformemente entre las partículas que lo componen (principio de equipartición de la energía). Maxwell y Boltzman, como nos dice P. Tuiller, hacen emerger el orden del caos, pues las regularidades observadas en el nivel macroscópico provienen de la incapacidad que tenemos para predecir las trayectorias individuales de los átomos.

El lenguaje de la estadística es una manera subjetiva de analizar la objetividad de la naturaleza. Recurrimos a ella no porque los acontecimientos sean de naturaleza azarosa, sino porque desconocemos subjetivamente cuál va a ser el curso que van a tomar dichos acontecimientos. Cada una de las partes que integran los sistemas de la naturaleza tiene una historia individual, pero como integran sistemas tan complejos, en los cuales interviene un número tan grande de partes, es imposible conocer la historia individual de cada parte y por ello debemos recurrir a la estadística.

La estructura determinista termina de colapsarse con la aparición de la teoría de la mecánica cuántica, en particular con el principio de incertidumbre de Heisenberg, el cual postula que no se puede medir al mismo tiempo la posición y la velocidad de una partícula. Si se requiere precisar dónde está la partícula, su momento lineal se vuelve indefinido y viceversa: al tratar de definir la velocidad dentro de límites estrechos, menos se sabe dónde se halla la partícula. De lo anterior se deduce que de acuerdo con la mecánica cuántica, cualquier medida inicial es siempre insegura y que el caos asegura que las incertidumbres sobrepasan la habilidad de hacer cualquier predicción. No es de extrañar que la teoría cuántica tuviese numerosos opositores cuando fue elaborada. De acuerdo con el principio de incertidumbre de Heisenberg, el macroorden de la naturaleza dependería del microcaos de los procesos íntimos de la materia. En el campo de las ciencias naturales, el embate contra el determinismo fue similar. Un ejemplo lo constituyen las teorías sobre la genética desarrolladas por Gregor Mendel, formuladas en 1865, pero que fueron aceptadas a partir de 1900. Antes de los trabajos de Mendel se admitía como cierto el dogma de la génesis, según la cual las especies fueron creadas en pares únicos, hembra y macho, en un punto de la Tierra a partir del cual se propagaron. Una especie que tenía características intermedias entre dos de ellas era considerada un híbrido, un mutante, algo que rompía el orden y debía desaparecer para regenerar el modelo deseado por el Creador. Las leyes de Mendel sobre la hibridación aportaron a la biología un concepto revolucionario para su época, el cual indica que los organismos no se reproducen a sí mismos y por tanto no transmiten sus propios caracteres, sino que procrean aportando a sus descendientes sólo la mitad de su patrimonio genético. Contó los granos y aplicó los métodos preestadísticos de su época, basándose en la ley de grandes números, pero sin conocer a fondo la teoría matemática. De su trabajo se deduce que las mezclas de especies siempre son posibles y que resultan tan fecundas como sus progenitores, mientras que los híbridos, cuando llegan a ser viables son frecuentemente estériles. No obstante, el grado de esterilidad no se encuentra asociado estrictamente con la afinidad de las formas, pues está gobernado por leyes complicadas y todavía escasamente conocidas.

Tal vez el más destacado de los científicos de las ciencias naturales haya sido Charles Darwin, quien decía simplemente que las variaciones aleatorias, seleccionadas en forma ciega, pueden engendrar toda la diversidad de formas vivientes. He aquí otro buen ejemplo del desorden que engendra el orden.

En resumen podemos decir que existe una ciencia del desorden, de la cual describiremos algunos ejemplos en el curso de esta obra, pero a diferencia de la ciencia platónica, su existencia misma no hace desaparecer los desórdenes que ella estudia. En cierta escala, todos los fenómenos son desordenados, irregulares y no pueden reducirse a formas puras. La ciencia del caos encuentra el desorden escondido entre un aparente orden real.

 

BORGES Y EL DESORDEN

Prosigamos esa historia del caos con un cuento... de Jorge Luis Borges. En "La lotería de Babilonia" el personaje central relata que este juego formaba parte principal de la realidad, y si bien poca gente lo jugaba, una organización, llamada La Compañía, despertó el interés del público al incorporar unos cuantos resultados negativos dentro de los números favorables. La lotería era secreta, gratuita y general. Todos participaban en los sorteos y las consecuencias eran incalculables, pues el asesinato de alguien o el descubrimiento de un tesoro podía ser el resultado de numerosos sorteos previos. Si la lotería era una periódica infusión del caos en el Cosmos, mejor sería que el azar interviniese en todas las etapas del sorteo y no en uno solo. Ninguna decisión es final y todas se ramifican en otras. Cuenta el personaje que hay quien dice que La Compañía no existe y que el desorden de nuestras vidas es puramente hereditario, mientras que otros declaran que es omnipotente, pero sólo influye en cosas minúsculas (como por ejemplo, el aleteo de una mariposa). ¿Se suceden los hechos al azar o funciona el mundo siguiendo reglas que podemos descubrir? Si decimos que el mundo tiene un sentido, y si éste es perfectamente inteligible, esto significa que el pasado y el futuro están abiertos ante nosotros como un libro. Por el contrario, si negamos lo anterior, no es posible discernir ninguna regla y si no entendemos el pasado, menos podremos predecir el futuro. La verdad, parece ser, se encuentra a medio camino entre esas dos aseveraciones, pero antes de abogar por ella, presentemos las dos versiones.


EL AZAR

El azar, según una definición clásica, es la intersección de series causales independientes. Lo aleatorio, en oposición al determinismo, es la independencia del pasado y del futuro. Un personaje del cuento de Borges sale de su casa y después de caminar un tiempo le cae un objeto encima que lo mata: ¿fue el azar? Hay quien afirma que no existen las series causales independientes en nuestro Universo: al caminar, el personaje ejerce en la calle una fuerza de atracción sobre el objeto que lo va a matar, ya que la cantidad de viento que desplaza en su movimiento es inseparable de todo un contexto meteorológico en el que la actividad pasada de la víctima ha tenido su contribución. A veces uno oye decir que los movimientos de los planetas obedecen leyes rigurosas, mientras que la tirada de un dado es fortuita o sujeta al azar. Karl Popper decía que la diferencia entre estas dos cosas reside en el hecho de que no somos capaces de predecir los resultados individuales de las tiradas de un dado. Para deducir predicciones se necesitan leyes y condiciones iniciales: si no se dispone de leyes apropiadas o si no se pueden averiguar las condiciones iniciales, el modo científico de predecir se desmorona. Sin duda alguna, cuando tiramos un dado no tenemos el conocimiento suficiente de las condiciones iniciales; si dispusiéramos de mediciones suficientemente precisas también sería posible hacer predicciones en este caso, pero las reglas para tirar el dado correctamente están elegidas de tal modo que nos impiden medir las condiciones iniciales, por lo tanto decimos que el proceso es aleatorio.


EL DETERMINISMO

Por otra parte, A. Rosenblueth en su libro Mente y cerebro nos describe con acierto uno de los postulados científicos que se han adoptado en la ciencia, del cual ya hablamos con anterioridad. Según éste, existen regularidades en la sucesión temporal de los fenómenos que ocurren en el universo material y hay características que son mesurables en los sistemas materiales relativamente aislados cuando están en equilibrio. Éste es el postulado del determinismo o de la causalidad, y según él, es posible predecir los estados futuros de un sistema material si se conocen en un momento dado las condiciones de los elementos que lo constituyen. Todo lo que se producirá mañana tiene una causa hoy, y un conocimiento bastante preciso de la causa permitirá predecir el efecto. Dos tipos de situaciones se presentan en los sistemas materiales: en el primero el tiempo es una de las variables, mientras que en el segundo no existe tal variable. En cualquiera de los dos casos la herramienta clásica que se emplea para describirlos es la ecuación diferencial. Si un fenómeno está regido por ella, su evolución está totalmente inscrita en su estado presente: el conocimiento perfecto de éste permite reconstruir su pasado y predecir su futuro. La ecuación diferencial es una relación válida en cada instante entre la posición de un móvil, su aceleración y su velocidad. Cuando se integra la ecuación se deduce la trayectoria del móvil y su desplazamiento sobre ésta. Una relación instantánea entre la posición y la velocidad permite determinar por completo tanto una como otra, siempre y cuando se conozca la posición en el instante inicial. Eli de Gortari (Ensayos filosóficos sobre la ciencia moderna) llama la atención sobre ciertas restricciones que tiene el determinismo. El presente físico implica siempre un lapso de cierta duración y, por lo tanto, las condiciones iniciales no son estrictamente instantáneas.

Lo anterior implica que el sistema sigue evolucionando durante la condición inicial tomada como punto de partida, por lo cual es irrealizable la previsión estrictamente rigurosa del estado del sistema en un instante dado. Otro punto importante es que para conocer exactamente la posición en el instante inicial es necesario hacer una medición perfecta, cosa imposible ya que las mediciones científicas están siempre afectadas por errores experimentales, además, al medir perturbamos el sistema, pues destruimos su aislamiento.


UN DETERMINISMO DISFRAZADO DE AZAROSO

Hoy en día se ha llegado a la conclusión de que una ley puramente determinista puede manifestarse por fenómenos totalmente aleatorios. Esta característica está dada por el carácter no lineal de las ecuaciones matemáticas que modelan el sistema físico. Dado que estas ecuaciones no permiten una solución analítica exacta los científicos han tenido dificultades para construir teorías que permitan su predicción. Mucho se ha avanzado gracias al uso de las computadoras, que han permitido al matemático explorar e identificar pautas de comportamiento indispensables. Esta nueva aproximación, en la que interviene una combinación de "experimentos" numéricos y de análisis matemático, ha dado origen a un campo llamado dinámica no lineal. Quienes trabajan en él usan el término caos para referirse al comportamiento irregular e impredecible, aunque determinista, de los sistemas no lineales. Un primer ejemplo de un sistema no lineal, muy sencillo, que exhibe una transición de un comportamiento regular a uno caótico es el generado por la llamada ecuación logística. Para profundizar en ella sólo necesitamos papel, lápiz y una calculadora sencilla.

El primer paso para desarrollar la ecuación consiste en definir una variable X; para aquellos que no les gusta trabajar con una simple letra, podemos sugerir que asocien la letra con una idea menos abstracta, como una población de insectos, la cantidad de una sustancia que reacciona en un vaso o bien, si se desea, el número de personas de una población que han oído un chiste (el lector podrá darle a X el sentido que su imaginación le dicte).

Así, el sistema está descrito por una sola variable X, es decir que para definir toda la evolución del mismo, bastará conocer el valor que toma X en cierto instante dado. Para simplificar aún más las cosas diremos que la variable tiempo sólo puede tener valores enteros. El modelo deberá entonces ser capaz de predecir el valor de Xsig a partir del último calculado, es decir, el valor de X; veamos cómo sucede esto:


Xsig = K (l - X) X

(ecuación 1)

Xsig será el siguiente valor calculado a partir de X; K es una constante que será detallada más, adelante.

¡Empecemos! Supongamos que X vale 0.04 y K, 2.7. Calculemos el valor de Xsig:

Xsig= 2.7 (1 - 0.04) 0.04

el resultado es 0.10368. Si ahora repetimos la operación, pero empleando X = 0.1, el resultado será 0.2430 y así continuamos resolviendo la ecuación, aumentando en cada caso el valor de X hasta llegar a 1. Una imagen, dice el refrán, vale más que mil palabras, hagamos pues una gráfica en donde en el eje horizontal dispongamos los valores de X empleados y en el vertical los que resultan de estas simples operaciones. En la figura 1 se muestra el resultado de nuestro cálculo. Bueno, se preguntará el lector, ¿qué de extraordinario tiene dicha gráfica? pues nada, hasta ahora; los biólogos conocen esta ecuación, descrita por P. Verhulst en el siglo pasado, que fue propuesta para modelar el crecimiento de una población de insectos en un medio ambiente limitado. La gráfica nos indica que cuando la densidad de población es inicialmente pequeña, las generaciones siguientes serán más numerosas, pero sólo hasta un límite, a partir del cual el crecimiento disminuye. La sobrepoblación, el incremento en la mortalidad, la competencia por el alimento y muchos otros factores hacen que la población disminuya, como se observa en la presencia de valores altos de X. Se asume que la población no sigue un crecimiento exponencial incontrolable, como lo había predicho el economista inglés T. Malthus en 1798, basándose en una ecuación del tipo:

Xsig =K X

(ecuación 2)

De acuerdo con su modelo, Malthus predecía que si no se ponía un "freno moral" (matrimonios aplazados y continencia sexual) no tardaría mucho para que la humanidad agotara la cantidad de alimentos disponibles. La ecuación del inglés describe un crecimiento lineal, mientras que nuestra ecuación (afortunadamente) genera un arco parabólico que empieza a elevarse desde el origen, llega a un máximo y desciende simétricamente hasta alcanzar nuevamente el cero. La constante K hace que la altura del máximo se modifique, hecho que se puede demostrar si graficamos la ecuación empleando un valor diferente de K.

Figura 1. Forma típica de la relación entre X y Xsig, descrita por la ecuación logística, K = 2.7.

Hagamos una pequeña modificación a nuestro cálculo: con el mismo valor de K = 2.7, usemos inicialmente el de X = 0.04. El valor de Xsig que se obtiene se sustituye como nueva X y se obtiene otra Xsig; repitamos la operación sesenta veces (en matemáticas a esto se le llama iterar la ecuación). Veamos cómo se obtienen los dos primeros valores:
El primer resultado es 0.10368, como ya lo vimos antes; ahora calculemos con él el siguiente:

Xsig= 2.7 (1-0.10368) 0.10368

que nos produce 0.25091. A partir de la iteración número dieciocho el producto es 0.6296. Si se da cualquier otro valor inicial entre cero y uno y se itera, se obtendrá el mismo valor final 0.6296. La figura 2 muestra una gráfica de las operaciones realizadas al iterar la ecuación; en el eje vertical están dispuestos los valores de X y en horizontal los de Xsig. Una manera sencilla de realizar las iteraciones sin necesidad de calcularlas con una máquina, la presentamos en esta misma figura 2. Hemos trazado una recta punteada que parte del origen, cuya expresión equivale a X = Xsig. Supongamos que partimos del valor inicial 0.04; si trazamos una línea vertical hasta tocar la curva y luego una horizontal que toque la recta punteada, tendremos el valor de Xsig y de esa manera repetimos la operación tal y como se describe mediante los trazos con flecha realizados en la figura. Como se puede observar, se llega a un punto fijo en el cual convergen todas las trayectorias generadas por las iteraciones.

Figura 2. Iteración de la ecuación logística para K = 2.7. Presencia de un atractor.

En la figura 3 se muestra el mismo desarrollo de la ecuación descrita, salvo que hemos modificado el valor de K> a 3.15. En este caso el punto fijo deja de ser estable y a pesar de que inicialmente atrae las órbitas hacia él, se genera una bifurcación en la que aparecen dos puntos estables (marcados como X1> y X2 en la gráfica) que, independientemente del valor inicial escogido, "atraen" todas las órbitas que se generen por la iteración de la ecuación. Debemos aclarar que en dinámica se llama bifurcación al cambio en el número de soluciones posibles para una ecuación cuando se varía un elemento, en este caso, el valor de K. El asunto empieza a ponerse interesante... Hagamos otro análisis de la ecuación empleando ahora K = 3.53. Los resultados están representados de una manera diferente en la figura 4; ahora en el eje horizontal está anotado el número de iteraciones de la ecuación y en el vertical el valor resultante de la variable X. El periodo dos se ha bifurcado y ahora existe un ciclo de cuatro valores. En lugar de continuar describiendo el comportamiento de la ecuación para diferentes valores individuales de K, presentamos en la figura 5 una vista general del modelo por medio de un diagrama de bifurcación en el cual en el eje horizontal se disponen los diferentes valores de K de 3.5 hasta 4 y en el eje vertical los de Xsig normalizados de cero a uno; cada valor de la figura se ha obtenido iterando la ecuación más de cien veces. La gráfica de la dinámica irregular de la ecuación logística nos da una imagen del caos. Como muchos de los sistemas no lineales que existen en la naturaleza, el modelo matemático exhibe un comportamiento que parece azaroso a pesar del hecho de que las ecuaciones que describen su comportamiento son enteramente deterministas. Los resultados nos enseñan que si K se sitúa entre uno y tres, pensando en el modelo de crecimiento poblacional de los insectos, los valores iniciales evolucionan a una población que alcanza un equilibrio.

Figura 3. Iteración de la ecuación logística para K= 3.15. Presencia de dos atractores con valores Xl y X2.


Figura 4. Valores de X para 60 iteraciones de la ecuación logística para K = 3.53. Ciclo de cuatro valores.


LAS RUTAS DEL CAOS

Al incrementarse K entre 3 y 4 la dinámica cambia en forma notable y aparecen bifurcaciones de orden 2 que son reemplazadas por ciclos en los que se alternan cuatro valores, que luego serán de 8, 16, 32, 64 (como decía Borges, "la decisión final no existe, se ramifica en otras"). Este proceso, al que se le suele llamar duplicación periódica, es una secuencia que antecede el periodo caótico y también se le denomina bifurcación en forma de tenedor, ya que su forma recuerda tal instrumento. Este mecanismo de duplicación periódica ha sido muy estudiado ya que representa una de las rutas hacia el caos y como veremos más adelante, es común en muchos sistemas dinámicos reales. Si el lector analiza con detalle la figura 5 puede notar que las regiones de comportamiento caótico se ven interrumpidas por intervalos de comportamiento periódico, uno de ellos se presenta cuando el valor de K es 3.569, otro mucho más prolongado ocurre en las vecindades de K 3.83 pero aquí se presenta un ciclo de tres valores estables al inicio del periodo, que permanece durante un corto lapso para luego desencadenar nuevamente un comportamiento caótico. Un esquema de este mecanismo se muestra en la figura 6. Este último proceso en el cual las bifurcaciones son impares representa otra de las rutas hacia el caos y se le conoce como intermitencia del tipo I, fenómeno que posteriormente estudiaremos en sistemas dinámicos naturales.



Figura 5. Diagrama de bifuraciones de la ecuación logística cuando K varía de 3.5 a 4. En el eje horizontal se encuentra el valor de K, en el vertical los de X.


Figura 6. Detalle del diagrama de bifuraciones en la ecuación logística para el ciclo de periodo tres.


EL CAOS

¿Qué pasa cuando el valor de K es mayor de cuatro? La situación cambia en forma importante. Considérese la figura 7, en la cual gráficamente presentamos los resultados de la ecuación para cinco valores de K que van desde 4.0001 a 4.0005 con un valor inicial de X= 0.4. En el eje vertical se representa el número de iteraciones que llegan hasta 200 y en el horizontal el valor siguiente de X. Como se observa, cuatro de las cinco ecuaciones se salen rápidamente de la escala negativa en las primeras 200 iteraciones, pero el orden que siguen es totalmente inesperado. La primera que se sale de la escala es la que tiene el valor de 4.0004, luego sigue la de 4.0003, y después la de 4.0005. En la iteración 200 sólo la que emplea el valor de K = 4.0002 sigue en el rango entre cero y uno, hemos entrado en el régimen caótico en el cual la periodicidad es difícil de predecir. Volvamos un momento al ejemplo del biólogo que sigue el crecimiento de la población de insectos: supongamos que cada iteración de la ecuación representa un año, por tanto, sólo uno de los sistemas representados en la figura anterior será estable por dos centurias, lo cual deja más que satisfecho a nuestro científico con su predicción. Sin embargo, si cada iteración representa una semana, el periodo de estabilidad deducido será mucho menor.

Figura 7. Iteración de la ecuación logística para cinco valores de K mayores de cuatro.

 

EL NÚMERO 4.669 201 609 102 990 9...

Una conclusión interesante que resulta del estudio de la "inocente" ecuación logística es que las bifurcaciones periódicas son una de las rutas hacia el caos, pero lo notable de este hecho es que dicho mecanismo es válido para cualquier ecuación que tenga un solo valor K. La universalidad de este proceso se reproduce sin importar la física detallada o la descripción del modelo teórico que se estudie. Más aún, la dinámica de fenómenos que transitan de la estabilidad al caos por el mecanismo de la bifurcación se realiza de una manera que puede evaluarse cuantitativamente, lo cual fue descubierto por M. Feigenbaum entre otros, un físico estadounidense que analizó los datos de la famosa ecuación con su calculadora.

Hagamos un esquema para entender lo que Feigenbaum encontró, véase la figura 8. En la parte superior del diagrama hemos anotado un eje de valores para X que va de cero a uno, tal como lo hicimos con la ecuación logística. Los símbolos K1 hasta K6 representan valores de la constante en los cuales se sucede una bifurcación. Si vemos la secuencia de arriba hacia abajo se nota que cada punto es reemplazado por dos "gemelos". Según el primer número universal descubierto por Feigenbaum, la distancia entre los números gemelos es 2.5029078750958...veces más pequeña que la que existe entre los puntos que les dieron origen. El lector minucioso podrá ver que cada secuencia de puntos que se origina una línea abajo reproduce el modelo global de la que le antecede, salvo que están más juntos. Feigenbaum encontró además que el cociente de diferencias en los valores de K requeridos para llevarse a cabo una bifurcación, por ejemplo (K3 - K2 / K4 - K3), es constante y vale 4.66201... para cualquier sistema no lineal unidimensional. Más adelante veremos que en los fenómenos físicos reales el paso a la dinámica caótica se lleva a cabo por un mecanismo similar al descrito teóricamente por las observaciones de Feigenbaum.



Figura 8. Bifurcaciones periódicas de la ecuación logística.

 

TODO DEPENDE DEL INICIO

Una conclusión muy importante que se deriva del estudio del caos fue claramente descrita por Henri Poincaré en 1908. Este notable matemático francés, empleando las herramientas del cálculo, escribió la siguiente conclusión de sus trabajos sobre las ecuaciones que describen la evolución temporal de varios sistemas: "una causa muy pequeña, que se nos escapa, determina un efecto notable que no podemos ver y decimos entonces que tal efecto se debe al azar."

Al referirse a la definición de las condiciones iniciales que deben emplearse (por ejemplo, en nuestro caso sería el valor dado a X en la ecuación logística), nos dice que por mas que se trate de precisarlas, éstas serán siempre aproximadas y:

[...] puede suceder que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales engendren unas aún mayores en el fenómeno final, un pequeño error en las primeras produciría uno enorme sobre las segundas. La predicción se vuelve imposible y tenemos el fenómeno fortuito.

Para ver en la práctica lo dicho por Poincaré debemos recurrir nuevamente a nuestra ecuación. Empleando una K = 4.00 se calculan los resultados de las iteraciones con dos valores iniciales ligeramente diferentes entre sí, por ejemplo X = 0.4000 por una parte y X = 0.4001 por la otra. (El cuadro de la página siguiente muestra algunos de los valores que se obtienen.)

Para la sexta iteración la diferencia ha llegado al cuarto decimal, pero en la 21 está ya en el primero, es decir que cualquier efecto, no importa lo pequeño que sea, alcanza proporciones macroscópicas y la diferencia en los resultados crece exponencialmente. Una manera de obtener una medida de la sensibilidad de un sistema a las condiciones iniciales fue descrita por el matemático ruso A. M. Lyapunov (1857-1918). Supongamos que partimos de la ecuación logística dando dos valores iniciales que difieren muy poco entre sí, por ejemplo, X y X + , e iteramos la ecuación n veces. Lyapunov encontró que la divergencia puede caracterizarse aproximadamente por una fórmula que nos dice que el valor de la diferencia iterada n veces es aproximadamente igual a  en.


Núm. iteraciones

Valores de Xsig

Diferencia


0

0.4000

0.40001

-0.000010

6

0.025466

0.025261

0.000205

21

0.774403

0.554030

0.220373


La letra  es conocida como el exponente de Lyapunov, y nos da una velocidad promedio a la cual se separan las dos trayectorias. Si el exponente es negativo, las trayectorias poco separadas en el inicio tenderán a converger y la evolución no será caótica. Por el contrario, si el exponente es positivo las trayectorias divergen y la evolución es sensible a las condiciones iniciales y por tanto es caótica. En la figura 9 el exponente se grafica como función del valor K de la ecuación logística para valores entre 2.8 y 4.0. Si comparamos esta figura con la número 5 observamos que el signo del exponente se correlaciona muy bien con el comportamiento del sistema, es decir, que los valores positivos corresponden a las bifurcaciones, mientras que los negativos se asocian al comportamiento periódico en la región entre 3.5 y 4 del valor de K.

Figura 9. El exponente de Lyapunov vs. K para la ecuación logística.

 

¿DÓNDE ESTÁ EL PLANETA?

Quizá el lector piense que exageramos la nota cuando hablamos de sistemas imposibles de predecir por su extrema sensibilidad a las condiciones iniciales. Para convencerlo de que estamos en lo cierto, veamos lo que sucede cuando se quiere conocer la posición futura de los planetas que constituyen el Sistema Solar. Siempre hemos tenido la idea de que el movimiento de los planetas es la imagen misma de la regularidad. Nuestro reloj cósmico se remonta a unos 5 000 000 000 de años, que es el tiempo estimado que ha transcurrido desde la creación del Sistema Solar. La ley de Newton de la gravitación universal permite modelar el movimiento de esos cuerpos, claro está, introduciendo las correcciones necesarias debidas a la relatividad general para los planetas próximos al Sol. La ley provee una relación entre las aceleraciones de los cuerpos y sus posiciones. El sistema se puede modelar perfectamente si se conocen las condiciones iniciales en las que se introducen las coordenadas de posición y las de velocidad para un instante dado. Pero aun con esos datos la resolución de las ecuaciones para estos sistemas no permite conocer las posiciones y velocidades para cualquier valor del tiempo. Tampoco arroja luz sobre cómo varían las trayectorias si uno modifica ligeramente las condiciones iniciales. El único ejemplo cuya solución de ecuaciones da un valor exacto es el descrito para el caso de un planeta único que gira alrededor del Sol: el problema se puede integrar y la solución indica que el planeta se mueve alrededor de una elipse. Sin embargo, en la práctica los planetas describen movimientos más complejos debido a la perturbación que introduce la atracción de los cuerpos celestes entre sí y la presencia de asteroides, cometas y otros objetos cuya existencia ignoramos. Gracias a los trabajos de Laplace y Lagrange referentes al estudio de la estabilidad del Sistema Solar se obtuvieron métodos que permiten encontrar soluciones aproximadas a las ecuaciones de movimiento de los planetas, pero como fue demostrado por Poincaré tras sesudas demostraciones matemáticas, los resultados no permiten conocer la estabilidad del sistema en periodos muy extensos. Más recientemente, las computadoras han permitido hacer cálculos que tiempo atrás hubiesen tomado años de trabajo; así, dos investigadores del Instituto Tecnológico de Massachusetts, Estados Unidos, realizaron la integración de ecuaciones de movimiento de los planetas más externos de nuestro sistema para los próximos 845 000 000 de años. La integración numérica indicó que Plutón tiene un movimiento caótico. El exponente de Lyapunov se estimó a partir de la divergencia que tenían las órbitas, una de ellas especificada a partir de valores de referencia y la otra teórica y muy próxima a la primera. La distancia que separa a las dos órbitas se multiplica por un factor de tres cada 20 000 000 de años, lo que hace imposible cualquier predicción sobre la excentricidad y la inclinación de la órbita más allá de los 400 000 000 de años. En otra simulación de los planetas internos (Mercurio, Venus, Tierra y Marte), J. Laskar, en Francia, llegó a la siguiente conclusión: es posible precisar la posición de los planetas hasta 100 millones de años más, a partir de esta fecha las excentricidades e inclinaciones tienen una dinámica caótica, más aún, un error de 0.00000001% en la estimación de los valores iniciales aumenta a 100% en cien millones de años.


LAS MARIPOSAS DE LORENZ

En 1963 el meteorólogo Eduard Lorenz, interesado en obtener un modelo que predijera el clima, trabajaba con una computadora para desarrollar un sistema que simulara el complejo movimiento de la atmósfera. El modelo había sido simplificado al máximo: una capa de aire próxima a la superficie se eleva por el calentamiento que le provoca la radiación solar absorbida en el suelo. El programa de cálculo incluía un conjunto de tres ecuaciones diferenciales cuyas variables representaban el movimiento, la variación horizontal y vertical de la temperatura. Lorenz pidió a la máquina que a partir de ciertos valores iniciales que él propuso, calculara los datos correspondientes para diferentes intervalos, por medio de iteraciones como las que ya describimos. Cada uno de los resultados fue impreso en una gráfica de tres ejes (X, Y, Z) y cada uno representa una de las variables del modelo. Para su asombro, los valores obtenidos formaron una figura parecida a una mariposa con sus alas desplegadas, véase la figura 10.

Figura 10. El atractor de Lorenz.

Los resultados de Lorenz, a pesar de haber aparecido en una revista técnica, pasaron inadvertidos para la comunidad científica. La figura del modelo de Lorenz no es otra cosa que la manifestación de la inestabilidad exponencial. En meteorología se sabe que la amplitud de una perturbación se duplica cada tercer día. A una condición inicial dada, es decir, cierto estado de la atmósfera en la superficie del planeta (presión, temperatura, humedad) le corresponde una evolución futura perfectamente determinista. No obstante si se modifican ligeramente las condiciones iniciales, por ejemplo, si algún miembro poderoso de La Compañía, del cuento de Borges, hace que una mariposa agite sus alas, este pequeño cambio tal vez no tenga repercusiones en los primeros instantes o días. Sin embargo, ya lo hemos visto con las iteraciones, la modificación se amplificará y si se duplicará cada tercer día, se multiplicará por 300 cada mes y por 100 000 cada dos meses y llegará a ser 1030 por año.

Si reflexionamos sobre los hechos anteriores vemos también que en los sistemas caóticos existe una pérdida de información con el paso del tiempo. Si uno conoce el estado de un sistema con N decimales en el tiempo inicial, t = 0, únicamente podremos conocer N - 1 en el instante siguiente t = 1, y por tanto N - n en el instante t = n hasta perder toda la información anterior cuando t = N. Esto es parte de las características de la inestabilidad exponencial: los errores se multiplican hasta degradar toda la información de partida. Para un sistema que posee esta propiedad, sea unidimensional como el caso de la ecuación logística o multidimensional y complejo como es la atmósfera, la dinámica misma es la única capaz de revelarnos la información que estaba contenida en las condiciones iniciales. En el caso de la meteorología esto quiere decir que el tiempo que observaremos dentro de un año revelará información sobre el estado de la atmósfera que prevaleció hoy. Considérese que las medidas que se determinan en las ciencias experimentales nunca son definidas más allá de la incertidumbre ligada a la medición, y los instrumentos más precisos que poseemos hoy en día nos dan valores que no pasan de las doce cifras, límite de precisión para las constantes físicas. Visto desde otro ángulo, cuando la dinámica del sistema caótico nos permite conocer la treceava cifra revela una nueva información creada de la nada. De lo anterior se resume que la evolución futura de tal sistema depende del estado que podemos constatar en este momento... ¡y del azar!, aunque es claro que siempre tenemos el recurso de echar mano de las leyes de cálculo de probabilidades que permiten estimar el comportamiento promedio de dichos sistemas en el tiempo. Por tanto, la definición tradicional de un sistema azaroso, mejor dicho estocástico, sólo puede ser descrita en términos de propiedades promedio dadas por una distribución probabilística determinada. ¿Se puede diferenciar desde ese punto de vista una secuencia aleatoria de la generada por el caos determinista? Veamos un ejemplo sencillo de este problema; utilizaremos una ecuación que nos permite calcular el valor siguiente a partir del que le precede:


Xsig= 1- K X2

(ecuación 3)

Digamos que inicialmente X vale 0 y K siempre vale 1.5, invitamos al lector a realizar el cálculo de los primeros doce resultados. Ahora reemplacemos por A aquellos valores cuyos resultados son menores de cero y por B los mayores de cero. La serie obtenida se escribirá: B A B B B B B A B B B A. Ahora tómese una moneda y anótese las veces que cae águila, que llamaremos A, y las que cae sol, que denominaremos B.

Supongamos que la secuencia obtenida es: A B B A B B A A B A B A. Para una persona que no sea muy observadora, la primera secuencia obtenida a partir de una ecuación muy sencilla le parecerá muy similar a la de la moneda, ya que no puede especular cuál será el valor siguiente a partir de la secuencia de dígitos que tiene ante sí. Comprobar que una serie es rigurosamente aleatoria no es tarea fácil y los matemáticos someten los resultados a pruebas estadísticas exhaustivas para estar seguros de ello. Se podría pensar que lanzar la moneda resulta la manera más clásica de producir una serie de números aleatorios, pero en el fondo no es así, ya que, por ejemplo, si lanzamos la moneda 20 veces se puede generar 220 (es decir, un poco menos de un millón) series binarias de secuencias y cada una de ellas con la misma posibilidad de hacerse presente. Por lo tanto, según la definición técnica de caos, un sistema dinámico caótico es aquel que exhibe muchos de los atributos de los sistemas ideales aleatorios; en esencia su evolución es impredecible debido a la extrema sensibilidad a las condiciones iniciales y el promedio de sus propiedades se puede describir empleando métodos estadísticos.

Si quisiéramos transmitir a una persona la secuencia de A y B que surge de la ecuación logística en la zona caótica, y no conociéramos la fórmula que dio origen a los valores, emplearemos una computadora y le daríamos un programa de instrucciones (un algoritmo) a fin de que la máquina pudiera reproducir paso a paso dicha secuencia en forma explícita sin que tuviera que comprender el resultado de cualquier parte de la información que proporciona. Los científicos A. N. Kolmogorov y G. J. Chaitin han definido que una serie de números es aleatoria si el algoritmo más pequeño que se le puede especificar a la computadora tiene el mismo número de bits (1 bit es la unidad fundamental de información) que la propia serie.

Por lo tanto, una manifestación de la incapacidad de predecir la dinámica de un sistema caótico es que su evolución en el tiempo es computacionalmente irreducible. La manera más rápida de saber cómo prosigue la dinámica de un sistema caótico es observando su evolución. Veámoslo de esta manera: supongamos que se realiza la simulación mediante una serie de números binarios de la evolución del sistema de Lorenz. Un científico intentará explicar estas observaciones por medio de una teoría que puede verse como el algoritmo capaz de generar la serie de resultados y extenderla, es decir, predecir las observaciones futuras. Para una serie dada de observaciones siempre existirán otras teorías que compiten entre sí y el científico tendrá que escoger entre ellas. El modelo que se escoja tendrá la menor cantidad de bits. Entre más pequeño es el programa, más se comprende el fenómeno que se estudia. El hecho es que los resultados de la simulación del fenómeno meteorológico no pueden ser predichos, por lo que cabe hacer la reflexión de si existen realmente sistemas azarosos ideales en el mundo de la física clásica o más bien la aparente aleatoriedad que observamos y explotamos en las teorías estadísticas no es otra cosa que el comportamiento caótico de algún sistema dinámico determinista escondido.


El dragón en la mitología mesopotámica se asocia con el caos. La serie de 10 diapositivas que aquí se presenta fue generada y coloreada por el doctor Isaac Schiffter. La número 5 representa una alegoría entre el caos y el orden (estructura del acrílico).


LOS DIAGRAMAS DE FASES

Volvamos a la figura generada por la computadora de Lorenz, ¿qué es lo que representa? Para entenderla es necesario describir cómo se representa la dinámica de un sistema en forma geométrica. El sistema dinámico está caracterizado por dos elementos: un estado y una dinámica. El primero representa las variables que lo caracterizan y el segundo es una regla que describe la forma en que el estado evoluciona, por ejemplo con el tiempo, para lo cual los científicos utilizan una construcción en un espacio matemático llamado de fases. Veamos cómo se puede representar el movimiento de un péndulo que se balancea suavemente en ausencia de fricción. Si construimos un diagrama de fases en el cual las variables son de posición y velocidad, el vaivén quedará descrito por un punto en el plano. En su eterno ir y venir, el péndulo seguirá una órbita o camino en un espacio de fases, en la figura 11 se representa uno en forma bidimensional, la L corresponde a la posición y V a la velocidad. Después de ser lanzado, la oscilación infinita describe una trayectoria que tiene forma de elipse representada periódicamente por el punto representativo.

Figura 11. Movimiento de un péndulo sin fricción en el espacio de fases: V = velocidad, L = posición.

Después de cierto tiempo, el conjunto de puntos iniciales contenidos en el cuadrado señalado en la figura se vuelve a encontrar dentro de otro cuadrado de área idéntica al primero. Ahora supongamos que el péndulo oscila experimentando una resistencia a su movimiento, por ejemplo, la que ocasiona la fricción de sus partes con el aire. Esto produce que al cabo de un tiempo pierda su impulso y termine por detenerse; en el espacio de fases la dinámica quedará descrita por una espiral, la cual se va contrayendo sobre sí misma hasta terminar en un punto fijo, cuando llega al equilibrio. Obsérvese la figura 12, el área que contiene los puntos iniciales se contrae hasta reducirse a un punto. Hasta la aparición de las máquinas de cuarzo, los relojeros habían empleado al péndulo como referencia del tiempo. Dado que no se puede eliminar completamente la fricción, se debe proporcionar al balancín cierta energía para mantener su movimiento, por ejemplo mediante pesas.

Figura 12. Movimiento de un péndulo con fricción en el espacio de fases. V = velocidad, L = posición.

El movimiento de ese balancín corresponde también a una trayectoria elíptica en el espacio de fases, pero diferente a la del ejemplo anterior: sin importar el impulso que se le dé al inicio, el balancín, al cabo de un lapso realizará un movimiento que siempre tiene la misma velocidad y amplitud. En el espacio de fases, una trayectoria que se inicia del interior o del exterior de la elipse terminará por acercarse a ella y confundirse. Dicha elipse se llama de ciclo límite y es también un atractor. Resumiendo, los dos tipos de atractores se caracterizan por tener órbitas o trayectorias que no se repiten exactamente en el tiempo, pero que se mantienen muy próximas unas de las otras, llegando a concurrir en el mismo punto fijo o ciclo límite. En los dos casos, el comportamiento de los sistemas es predecible cuando la amplitud del movimiento es moderada. Pero el espacio de fases puede tener más de dos dimensiones y en esos casos la dinámica del sistema es mucho más compleja y aparecen los atractores llamados extraños.


ATRACTORES SORPRENDENTES

El atractor de Lorenz, tal y como se le conoce hoy en día, es el resultado del comportamiento caótico al tratar de modelar el movimiento de una capa de aire en un sistema tridimensional. Imaginemos por un momento que tenemos la capacidad de observar los atractores a intervalos constantes de tiempo (podríamos pensar en intervalos a cierto número de iteraciones de las ecuaciones que describen el sistema). Cuando el atractor tenga un solo periodo, cada vez que analicemos la figura encontraremos un punto que representa el estado del sistema en el mismo sitio de la iteración previa, como el caso del péndulo que oscila sin resistencia a la fricción. Sin embargo, puede suceder que el punto no regrese a su posición original en el espacio de fases, y cada vez que realicemos la observación veremos que "viaja" en forma errática confinado en un espacio de fases, creando una miríada de puntos que reflejan trayectorias; al inicio son muy próximas pero en el curso de las iteraciones se alejan vertiginosamente. Dado que en el espacio de fases las órbitas no pueden distanciarse eternamente, en un determinado momento se pliegan sobre sí mismas, operación que repiten una y otra vez.

¿Cuál es el factor que determina este fenómeno? Con anterioridad se demostró que una de las características esenciales de los fenómenos caóticos es su sensibilidad a las condiciones iniciales; basta una pequeña incertidumbre en la definición de ellas para que el error se magnifique rápidamente con el tiempo y sea imposible prever en dónde se colocarán los puntos en la gráfica. Stephen Smale, matemático de la Universidad de California, demostró gráficamente el proceso dinámico que sucede en los atractores extraños, empleando conceptos de topología. Esta rama de las matemáticas estudia las deformaciones continuas en geometría y las relaciones entre las teorías de las superficies y el análisis matemático. Vemos en la figura 13 cómo se representa la gestación del atractor extraño. Primero nos procuramos un material estirable y con él trazamos un cuadrado que representa el espacio de fases (figura 13 (A)). Luego estiramos esa figura para obtener un rectángulo (figura 13 (B)), el cual doblamos para generar algo así como una herradura (figura 13 (C)). Hasta aquí lo que hemos hecho es equivalente a realizar una iteración de la ecuación; considérese que ahora dos puntos, inicialmente alejados, son próximos. Procedamos a confinar la herradura en el espacio de fases original (figura 13 (D)) y realicemos una manipulación idéntica a la anterior. Aparecen cuatro pequeños rectángulos (figura 13 (E)), que se irán multiplicando conforme se hagan más iteraciones y todos ellos provienen de órbitas que surgen de estados iniciales totalmente diferentes. Cuando se amplifica cualquier punto de la imagen del atractor de Lorenz (por ejemplo, haciendo cálculos más precisos) veremos que el objeto tiene pequeñas copias de sí mismo, perfectas en cada detalle, de manera que una parte del mismo es semejante al conjunto total a diferentes escalas de amplificación; más claramente dicho es un fractal. Cuando uno clasifica los objetos clásicos de la geometría dentro de una escala de 1 a 3, los puntos quedan incluidos en el primer grupo y su dimensión es cero, las curvas son de dimensión uno, las superficies dos, y los sólidos de dimensión tres. Los fractales, naturalmente, se sitúan en posiciones intermedias; por ejemplo, el atractor de Lorenz se sitúa entre 2 y 3. Dado que el número de valores necesarios para describir el atractor es de tres, el hecho de que la dimensión del atractor sea inferior significa que el sistema no explota todo el espacio teóricamente disponible. Una explicación muy clara de los fractales se encuentra en el libro de E. Braun, Un movimiento en zigzag (La Ciencia desde México, núm. 13).

Figura 13. Construcción del mapa de la herradura de Smale para dos iteraciones.

 

LA TURBULENCIA

Después de esta excursión por el mundo de las matemáticas y los atractores extraños es conveniente tomar un respiro y relajar la mente, para lo cual invitamos al lector a irse de pesca. El movimiento del agua nos hipnotiza mientras intentamos burlar al pez y atraparlo. Si para observar el curso de las aguas tomamos como referencia la vegetación que viaja por ellas, notamos que en las zonas tranquilas las hojas parecen moverse en línea recta y a la misma velocidad. En cambio, en los rápidos las velocidades son diferentes y si seguimos el movimiento de dos hojas que en un momento viajan próximas, veremos que súbitamente se apartan describiendo trayectorias que no repiten las que vienen atrás. Se dice que en esta última zona el agua es turbulenta. La hidrodinámica se interesa en el comportamiento de los fluidos en movimiento y la turbulencia en particular sigue siendo un problema no del todo resuelto desde el punto de vista teórico, ya que hasta hace no muchos años no había una descripción rigurosa y precisa para el mecanismo por el cual un fluido pasa de un movimiento ordenado a otro turbulento. El estudio de estos mecanismos tiene un alto valor desde el punto de vista científico y tecnológico; baste recordar que gran parte del transporte que realiza el ser humano es a base de ductos, además de que existen sistemas, como las turbinas o los aviones y barcos, que se mueven en un fluido. ¿Cómo imitar el movimiento de los delfines que se desplazan retardando al máximo la formación de la turbulencia? Algo tiene que ver la compleja estructura de su dermis y epidermis y cuando podamos imitarla seguramente economizaremos grandes cantidades de energía que gastamos en la propulsión de barcos y submarinos. Pero este no es el único campo que se beneficiaría con el conocimiento más detallado de la turbulencia; como el cuerpo humano posee una vasta red de ductos por los cuales circula la sangre, el conocimiento de las pautas de movimiento sin duda aclararía muchos de los problemas circulatorios que se presentan.

Según nos cuenta E. Braun en su libro Un movimiento en zigzag, el botánico Robert Brown había realizado una descripción muy parecida en 1827, al observar al microscopio una suspensión de polen en agua. A cualquier escala de tiempo, por pequeña que fuese, la partícula cambiaba constantemente de dirección y de velocidad. Después de los trabajos de Maxwell, y sobre todo los de Einstein y Perrin, realizados medio siglo después, se hizo claro que el movimiento browniano no era sino el efecto visible que resultaba del choque de las moléculas de agua con la partícula de polen. Según el modelo que se desarrolló, después de cada colisión se pierde la información sobre las velocidades adquiridas en el choque previo, por tanto ya no son correlacionables la velocidad y la posición entre sí, y sólo es posible conocer una distribución promedio de velocidades.

En el caso de la turbulencia su descripción también es estadística, ya que es imposible predecir la velocidad exacta de un fluido en un punto dado. Más aún, lo único que puede uno predecir es la probabilidad de que la velocidad tenga cierto valor, aunque esto también tiene dificultades ya que se sabe que las velocidades fluctúan cuando el movimiento es turbulento, pero no se conoce con precisión cuál es la ley de probabilidad que hay que aplicar.

Pero vayamos del orden al desorden y primero describamos aquel flujo de fluido que no es turbulento. Supongamos que tenemos un líquido viscoso que queremos desplazar por un tubo; la viscosidad, entendida como el rozamiento interno del fluido, hace necesario que ejerzamos una fuerza para obligar a la capa líquida a deslizarse sobre otra. Si la velocidad no es muy elevada, el movimiento del líquido será laminar, en cuyo caso imaginamos que todas las moléculas del fluido se mueven como los coches en una autopista de múltiples carriles de acuerdo con las siguientes reglas: a) cada coche sigue el mismo camino que sus predecesores; y b) dos coches vecinos que estén en el mismo carril o en uno diferente, conforme pasa el tiempo se separan lentamente uno de otro, en forma proporcional a la diferencia de velocidades, esto es, linealmente. Sin embargo, cuando el fluido es sacudido por alguna fuerza externa y la velocidad excede un valor crítico, la naturaleza del movimiento es impredecible, aparecen torbellinos que originan un aumento a la resistencia al movimiento. Esa transición entre los dos estados tiene causas que no son conocidas aun cuando sabemos empíricamente cuáles son los factores que determinan si el régimen de un fluido será laminar o no. ¿Cómo estudiar experimentalmente la turbulencia sin introducir en el sistema dispositivos que perturben la observación? La estrategia es sencilla y se basa en poner en movimiento el fluido mediante la convección térmica. En términos menos técnicos, consiste en crear una diferencia de temperatura en un material que se expande, lo que provoca el movimiento del mismo. Este experimento lo realizó el francés Henri Bénard en 1900, encontrando resultados verdaderamente interesantes.


LAS CÉLULAS DE BÉNARD

Henri Bénard fue uno de los científicos pioneros en el campo de la hidrodinámica. Empleando el principio de la convección se propuso estudiar el movimiento de líquidos viscosos, para lo cual diseñó un sistema en el que calentaba un recipiente por abajo en forma controlada mediante placas perpendiculares al eje gravitacional. En la figura 14 mostramos el equipo experimental que Bénard construyó para realizar sus observaciones; se trata de un cilindro perfectamente aislado para evitar la pérdida de calor por las paredes laterales. Al calentar las placas mediante vapor de agua, entre la parte inferior del recipiente y la superior se establecía una diferencia de temperatura que se mantenía constante. En esas condiciones el calor genera una expansión del líquido, provocando que el fluido más caliente tenga una densidad menor, por lo que tenderá a subir mientras el superficial hará lo contrario. En el experimento original, Bénard empleó una capa delgada de aceite de ballena, quedando la superficie superior en contacto con el aire. Para estudiar la convección utilizó como detector "un corpúsculo sólido, de densidad igual a la del líquido, el cual tiene el mismo movimiento de la partícula líquida que reemplaza, a condición de que el grano tenga dimensiones despreciables": en este caso fueron granos de licopodio. Tomando placas fotográficas en distintos momentos observó que bajo condiciones de calentamiento precisas el líquido subía por el centro del recipiente, mientras que el de la superficie descendía por los bordes, tal como se muestra en la figura 15.

Figura 14. El equipo empleado por Bénard (del dibujo original).

 

Figura 15. Esquema descrito por Bénard para explicar la formación de las "celulas".

Como los granos de licopodio son menos densos que el fluido no se sumergen, por lo tanto, cuando Bénard añadió el polvo y esperó cierto tiempo, lo que observó aparece en la figura 16: súbitamente se generan en forma espontánea estructuras hexagonales de ejes verticales, que "es la estructura celular regular. Llamaré en lo subsiguiente célula al volumen limitado por uno de esos prismas verticales". Además nos dice: "únicamente por la acción de fuerzas moleculares ordinarias y de la gravitación, una capa líquida muy delgada, inicialmente homogénea, se puede dividir en individuos líquidos, todos iguales, limitados por prismas hexagonales regulares."

Figura 16. Las células del experimento de Bénard.

Bénard también insiste en el hecho de que la mínima perturbación térmica o mecánica, como podrían ser las corrientes de aire, provoca la ruptura de la formación. Bénard llega a conclusiones interesantes: "En lo que concierne a la posible relación con la estructura de los seres organizados, temo aventurarme sobre un terreno que no me es familiar, si trato de precisar los detalles..." Bénard sugiere que la división celular podría llevarse a cabo por fenómenos de difusión o de ósmosis que produzcan los mismos efectos que el calor provocó en el caso que él estudió.


EL HELIO EN CONVULSIÓN
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En años recientes se llevó a cabo un experimento más controlado que el de Bénard, en el cual el fluido empleado fue el helio gaseoso a baja temperatura, es decir a 268º C bajo cero. El material estaba dentro de un cilindro vertical, confinado entre dos placas, al cual se calentaba por abajo y se enfriaba por arriba. Durante la experiencia el parámetro que se varió fue el llamado número de Rayleigh (Ra), bautizado así en honor de Rayleigh, otro de los notables pioneros en el estudio de la hidrodinámica, que en 1916 publicó sus trabajos y dio una primera interpretación del fenómeno.

El Ra, en términos sencillos, es una medida adimensional de la diferencia de temperatura impuesta al sistema, pero depende de otras características del fluido como son la viscosidad, la conductividad térmica, etc. Cuando el Ra es pequeño se presenta un fenómeno de conducción, es decir, el calor se transmite sin que el fluido se mueva, y mediante termómetros colocados entre la parte inferior y superior se verifica que hay un gradiente de temperatura constante en el tiempo.

Cuando el valor de Ra es un poco más elevado, el fenómeno pasa a ser de tipo convectivo y aparecen las células de Bénard. Si se prosigue el calentamiento, el movimiento del fluido no es del todo desordenado; por el contrario, se establece una estructura regular en forma de rodillos (véase la figura 17) en la que es posible observar una sucesión de corrientes que suben y bajan alternadamente, y son casi equidistantes cuando se establece una diferencia de temperatura entre T y T + § T. En la figura se aprecia que la distancia entre dos corrientes verticales adyacentes es del orden de d, que es la distancia entre dos placas rígidas horizontales. Debe señalarse asimismo que si consideramos todo el conjunto de rodillos veremos que cada uno de ellos puede cambiar el sentido de su giro sin que con esto se modifiquen las propiedades geométricas o dinámicas del fluido en movimiento. Esto se debe a que la probabilidad de que gire en un sentido o en el otro es exactamente la misma, como sucede cuando dejamos caer una piedra desde la cima de una montaña, puede rodar por uno u otro lado de la ladera. Si se aumenta el Ra aún más, las células se desordenan y aparece el caos, los termómetros marcan temperaturas totalmente aleatorias y el fluido tiene un comportamiento tan errático que pareciera que cada una de sus partes se desplaza en forma independiente. En tal caos aparente, los científicos han podido describir, además de las estructuras de Bénard, otras formaciones curiosas como: a) las llamadas capas límite, las cuales son regiones muy delgadas de espesor en donde la velocidad del fluido varia rápidamente; y b) las plumas térmicas, especie de hongos parecidos a los que se desarrollan en una explosión nuclear, los cuales son resultado de la existencia de una fuente de calor puntual en el fondo del recipiente. El fluido caliente sube por el pie del hongo y cuando alcanza el sombrero se extiende antes de volver a descender. Estas formaciones las encontramos en otros contextos, por ejemplo en las turbulencias que se sienten a veces cuando se viaja en avión; se piensa también que la erupción de la lava durante una actividad volcánica sigue el mismo principio.

Figura 17. Diagrama de la organización del movimiento de un fluido en convexión.

 

EL AGUA TAMBIÉN ES DESORDENADA

En la Universidad de Chicago, que ha sido sede de los estudios recientes en turbulencias; también se ha trabajado usando como modelo el agua. ¡Cuántas veces la hemos calentado sin percatarnos de la gran complejidad de los movimientos que se generan! Consideramos interesante transcribir la descripción de los autores que realizaron un experimento en un recipiente de unos veinte centímetros de alto, el cual calentaban por abajo y enfriaban por arriba, tal como lo hacía Bénard. Nos dicen los científicos que el agua gira en sentido inverso a las manecillas de un reloj y que en ciertas regiones del recipiente el líquido se acelera antes de subir rápidamente como un chorro, el cual atraviesa la parte superior y desciende también en forma de chorro hacia el fondo; esto parecería una gran célula de Bénard. Paralelamente, cerca del fondo del recipiente se observan regiones de capas límite en donde el líquido está relativamente en calma, ¡pero con una temperatura mayor que el resto!, y a la mínima perturbación emergen las plumas térmicas de estas regiones. Todo este concierto de formas y movimientos, paradoja de la turbulencia, parece llevarse a cabo en zonas independientes. Sigue en pie la pregunta que surge de la turbulencia: ¿cuál es el mecanismo por el cual se origina? La respuesta no es aún contundente y posiblemente pasará mucho tiempo antes de obtenerla; lo que sí podemos decir es que estudios detallados de estos experimentos comprueban que se genera un mecanismo muy semejante al que hemos visto anteriormente con la ecuación logística. La explicación más avanzada hasta la fecha fue dada en 1978 por D. Ruelle y F. Takens en Francia, y es de gran importancia ya que echa por tierra el mecanismo del investigador ruso, Lev Landau que había prevalecido por muchos años. Tal y como vimos en la ecuación caótica, después de una etapa determinista aparecen bifurcaciones en los valores y la ecuación empieza a oscilar.

De acuerdo con Landau, para que ocurra la turbulencia es necesario que suceda un número muy elevado de bifurcaciones para llegar a ese estado; Ruelle y colaboradores han demostrado que sólo unas cuantas oscilaciones son necesarias para entrar en caos. Más aún, en Italia, V. Fraceschini, mediante un sistema de cinco ecuaciones diferenciales acopladas, adaptó en su computadora las ecuaciones que rigen el movimiento del fluido y encontró que aparecían los atractores de bifurcación periódica conforme los elementos que gobiernan el movimiento se acercaban a los valores que irrumpen en el régimen turbulento. Los cálculos de su simulación indicaron que los números descubiertos por Feigenbaum se comprobaban perfectamente. Por primera vez un modelo matemático de la turbulencia física revelaba una parte de su compleja estructura.


CAOS Y MEZCLAS

"...Con las manos o utilizando un tenedor se desbarata la levadura en harina, agregándole media taza de leche tibia. Cuando estén bien incorporados los ingredientes se amasan un poco, se forma una bola y se deja reposar..., reza la receta para hacer una rosca de reyes, ¡y es precisamente en la mezcla de los componentes que está el secreto de la pasta! También los químicos necesitan de una buena mezcla para que las reacciones procedan eficientemente, o para dispersar los depósitos que obstaculizan una tubería. Sin importar el proceso de que se trate, la mezcla es una operación compleja y hay que elegir entre fluidos que puedan o no ser totalmente miscibles entre sí, o que fluyan lenta y ordenadamente o rápido y en forma turbulenta. La parte principal en la comprensión de los fenómenos básicos del mezclado se basa en el concepto del "movimiento", una idea que fue desarrollada en el siglo XVIII por el matemático suizo Leonhard Euler. Desde el punto de vista matemático, el movimiento de un fluido es una expresión que nos permite conocer en dónde estará cada partícula del fluido para un tiempo futuro; de esa manera se podrá calcular la fuerza y energía total necesaria para realizar cierta cantidad de mezclado en el sistema. Dada la dificultad que implica poseer dicha información, una manera de conocer el mecanismo por el cual se lleva a cabo el proceso de mezclado consiste en realizar el estudio en un sistema de dos dimensiones. Al generar un mapa de espacio de fases bidimensional mediante una computadora, el sistema queda restringido en sus movimientos y las partículas adoptan uno de dos comportamientos: o fluyen por el mismo camino creando una corriente (una órbita, diríamos si estuviésemos hablando de la ecuación logística) o se quedan estáticas. ¿Cómo hacer para que las corrientes lleguen a un punto común, se separen luego y posteriormente se aproximen de nuevo para volver a mezclarse? La respuesta la sabe intuitivamente quien cocina sin tanta matemática: hay que forzar el flujo para que varíe con el tiempo en una forma periódica de manera que se estire y se pliegue como el atractor de Smale para que parte de la mezcla regrese al punto de origen. Es posible relacionar el estudio del tipo de atractores que se generan con la eficiencia del mezclado. Debemos pensar que el atractor generado es del tipo de ciclo limitado, por ejemplo, y el fluido regresa a su posición original, veremos en la mezcla de dos componentes islas de un material rodeado por el otro, lo cual obstaculiza la homogeneidad del fluido. En la figura 18 se representa una simulación por computadora de cierto número de "partículas" que se mezclan al moverse entre dos cilindros excéntricos que giran periódicamente en sentido opuesto. La computadora calcula el movimiento que se genera en cada giro y en este caso representa 1 000 de ellos; como se ve, la mezcla es bastante homogénea aunque todavía hay un par de islas de material que no se ha mezclado. J. Ottino y K. Leong de la Universidad de Massachusetts, EUA obtuvieron las imágenes de la figura 19 como resultado de un experimento de laboratorio; en ellas se demuestran con claridad el proceso de deformación y plegamiento descrito por Smale. En este caso se trata de un material fluorescente, el cual deposita en la superficie de la glicerina un producto viscoso, que se encuentra en una cavidad rectangular. La parte superior e inferior de la cámara se mueven independientemente y en este caso en forma periódica, pero discontinua. Se observa que conforme aumenta el número de periodos aparece el mecanismo de deformación y plegamiento, que conduce al mezclado caótico necesario para obtener un material final homogéneo.

Figura 18. Simulación computacional de una mezcla de "partículas", en donde aún aparecen zonas heterogéneas.


Figura 19. Secuencia de deformación y plegamiento en un experimento de mezclado.

Epílogo

El caos determinista aporta una visión contraria a la que se tuvo durante mucho tiempo en el sentido de que un sistema se podía conocer si se estudiaban por separado las partes que lo constituyen. Con el caos se ha demostrado que un sistema puede exhibir un comportamiento muy complicado que emerge como consecuencia de la interacción no lineal de unos cuantos componentes del mismo. Por lo tanto, para que se presenten las oscilaciones y el caos, como también la posibilidad de tener varios estados estables, no se requieren complejos bloques de construcción. Hemos visto que ecuaciones matemáticas muy sencillas generan resultados en donde es imposible la predicción del valor, si hay un número de requisitos mínimos satisfechos. Tal parece que este comportamiento también aparece en la química. Antes de que se comprobara la existencia de las oscilaciones en la química, se invocó la segunda ley de la termodinámica en forma incorrecta y se esgrimió como argumento para comprobar la inexistencia de las oscilaciones. Sin embargo, las reacciones químicas no hicieron caso de tales ideas y siguieron oscilando, por lo que los científicos tuvieron que pensar con más cuidado sobre estos fenómenos. En las páginas anteriores hemos visto ejemplos experimentales de oscilaciones complejas y rutas hacia el caos en casi todo el rango de sistemas químicos: sistemas homogéneos en fase gaseosa, en solución y reacciones sólido-gas, también en procesos heterogéneos que comprenden interfaces gas-sólido y sistemas bioquímicos; en todos ellos se apuntan aspectos cualitativos muy similares. Muchos investigadores, reacios al inicio a aceptar los hechos experimentales obtenidos en muchos laboratorios, se han convencido de que a pesar de la incertidumbre que existe para fijar con precisión las condiciones experimentales y la adquisición de datos, el caos está presente en forma potencial, aun en las reacciones clásicas descritas en los libros de texto.

Tal vez lo que resulta del aprendizaje del caos en la química (y en muchas otras disciplinas) es que aun cuando seamos capaces de obtener las leyes cinéticas que gobiernan la reacción a partir de un mecanismo detallado del cual conocemos todos los intermediarios, la predicción siempre será incierta y el problema no se solucionará gastando más dinero en costosas computadoras que simulen los datos. La única alternativa sería determinar todas las concentraciones iniciales con una precisión infinitamente exacta, pero eso es imposible (fantaseando, tal vez La Compañía del cuento de Borges lo pudiera hacer). Pero en el fondo no estamos del todo perdidos; aunque renunciemos a las predicciones a largo término, la teoría del caos puede ayudarnos a evaluar qué tan predecible es un sistema, en qué rango de tiempo podemos hacer predicciones y cuáles son las desviaciones esperadas alrededor de cierto valor promedio, o cuál será el comportamiento promedio del sistema para cierto periodo; todas estas son incógnitas que podemos evaluar. Asimismo, es posible aprender a dirigir un sistema no en forma directa, sino utilizando sus facultades de autoorganización y con el ajuste de criterios adecuados de control. La naturaleza, sin embargo, emplea el caos en forma constructiva: al amplificar las pequeñas fluctuaciones provee sistemas que permiten el acceso a la creatividad. La evolución biológica demanda una variabilidad genética, el caos puede proporcionar un medio para estructurar los cambios azarosos, ofreciendo la posibilidad de poner la diversificación bajo el control de la evolución. Aún más, podemos especular que la creatividad innata en la que viejas y nuevas ideas se conectan debe tener un trasfondo caótico que permite amplificar las fluctuaciones y moldearlas para dar estados mentales macroscópicamente coherentes, los cuales se experimentan como nuevos pensamientos. El caos provee un mecanismo que nos permite tener un libre albedrío en un mundo gobernado por leyes deterministas.

 

LIBROS

A. Howden, Chaos, Princeton University, 1986, EUA.
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D. Hofstadter, "Methamagical Themas", 245, 16 (1981).
E. Braun, Un movimiento en zigzag, La Ciencia desde México, 13, FCE.
E. Cesarman, Orden y caos, Gernika, 1986, México.
E. Cesarman, N. Brachfeld, Termodinámica del corazón y del cerebro, CONACYT, 1981, México.
E. Gortari, Ensayos filosóficos sobre la ciencia moderna, Grijalbo, 1984, México.
G. Baker, J. Gollub, Chaotic Dynamics, Cambridge University, 1991, EUA.
H. Poincaré, Science and Method, Dover, 1952, EUA.
I. Ekeland, El cálculo, lo imprevisto, Breviarios FCE, 1988, México.
Au Hasard, Seuil, 1991, París.
J. L. Borges, Ficciones, Alianza Editorial, 1991, México.
J. Nuño, El pensamiento de Platón, FCE, 1988, México.
J. Soberón, Ecología de poblaciones, La Ciencia desde México, 82, FCE, 1991, México.
K. Popper, La lógica de la investigación científica, REI, 1991, México.
L. García-Colín, R. Rodríguez, Líquidos exóticos, La Ciencia desde México, 104, FCE, 1992, México.
S. Scott, Chemical Chaos, Clarendom Press, 1991, Oxford.


PUBLICACIONES EN SCIENTIFIC AMERICAN

J. Crutchfield y colab., "Chaos", 255,46 (1986).
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I. Epstein, "Oscillating Chemical Reactions", 248, 112 (1983).
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PUBLICACIONES EN LA RECHERCHE

C. Nicolis, "Le Climat peut-il basculer", 584, 22 (1991).
D. Ruelle, "Les Atracteurs Etranges", 111, 132 (1980).
H. Haken y A. Wunderlin, "Le Chaos Deterministe", 1248, 21(1990).
J.Chabert y A. Dalmedico, "H. Poincaré, le Precurseur", 566, 22, 1991. J.Laskar y C. Froeschlé, "Le Chaos dans le Systeme Solaire", 572, 22 (1991).
L. Kadanoff y colab., "Turbulence dans une boite", 628, 22 (1991).
P. Thuiller, "La Revanche du dieu Chaos", 542, 22 (1991).
R. May, "Le Chaos en Biologie", 588, 22 (1991).
PARA LEER DESPUÉS DEL CAOS
J. Cohen y I. Stewart, The Collapse of Chaos, Viking Press, (1994).

El avance prodigioso de la ciencia hace pensar que los fenómenos de la naturaleza son predecibles, ya que se pueden escribir las leyes que dictan su comportamiento futuro. Nos cuenta el autor que dentro de la comunidad científica se refieren continuamente al caos, considerándolo una manifestación de procesos naturales y de experimentos que se llevan a cabo en los laboratorios y en los cuales la característica común es la imposibilidad de describirlos por leyes matemáticas simples. Más extraño es aún el hecho de que este tipo de fenómeno surge de aquellos que, en un principio, son deterministas.

Una ecuación simple bajo ciertas circunstancias se vuelve impredecible, una reacción química llevada a cabo en un simple tubo de ensayo se comporta aleatoriamente, la ecuación que describe la posición de Júpiter dentro de unos millones de años indica que dicho parámetro es imposible de predecir.

Todo sucede entonces como si las imágenes que uno ve muy nítidas en un principio, se tornan irreconocibles a medida que se alejan en el tiempo. Se entra así en el territorio del caos. El caos, aunque impredecible, está gobernado por las leyes deterministas, y más fascinante aún es que el sistema caótico súbitamente irrumpe en estados nuevamente ordenados.

¿Por qué existe este caos? ¿Cómo interviene en nuestra vida cotidiana y cuáles son sus consecuencias? Estas cuestiones constituyen el tema principal de este libro.

El doctor Isaac Schifter es egresado de la Facultad de Química de la UNAM. Investigador en el Instituto Mexicano del Petróleo en el área de las ciencias básicas, obtuvo su doctorado en la Universidad Claude Bernard, Francia.